Segmentos de Reta e Semirretas
📏 Segmentos de Reta e Semirretas
Diferente da reta (que é infinita nos dois sentidos), existem "pedaços" e "versões" dela que são fundamentais na geometria: o segmento de reta (finito) e a semirreta (infinita em um sentido). Vamos explorar cada um com notação, propriedades e exemplos.
Notação rápida:
• Reta: \(\overleftrightarrow{AB}\)
• Segmento: \(\overline{AB}\) ou \(AB\)
• Semirreta: \(\overrightarrow{AB}\) (origem em A passando por B)
Segmento de Reta
Segmento de reta é a porção da reta limitada por dois pontos, chamados extremidades. Ele possui comprimento finito e pode ser medido. Diferente da reta, o segmento tem começo e fim.
📌 Representação e notação
O segmento com extremidades em \(A\) e \(B\) é denotado por \(\overline{AB}\) ou simplesmente \(AB\). A distância entre os pontos \(A\) e \(B\) é o comprimento do segmento, indicado por \(AB\) (sem a barra).
(em ordem, considerando coordenadas)
📐 Comprimento de um segmento
No plano cartesiano, se \(A = (x_1, y_1)\) e \(B = (x_2, y_2)\), o comprimento é dado por:
⚙️ Propriedades importantes
| Medida | \(AB \geq 0\) e \(AB = 0 \iff A = B\) |
| Simetria | \(\overline{AB} = \overline{BA}\) (mesmo segmento) |
| Ponto médio | \(M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)\) divide em dois segmentos iguais |
| Colinearidade | Três pontos são colineares se um deles pertence ao segmento dos outros dois |
➕ Operações com segmentos
- Soma de segmentos: justapostos na mesma reta, formam um novo segmento.
- Comparação: podemos dizer se \(AB > CD\) (comprimento maior).
- Subtração: diferença entre segmentos colineares.
Exemplo cotidiano: A borda de uma régua, a distância entre duas cidades numa estrada, um fio esticado entre dois postes.
Semirreta
A semirreta (ou raio) é o conjunto formado por uma origem (um ponto) e todos os pontos que estão a partir dela numa mesma direção. É infinita em um sentido, mas tem origem definida.
📌 Representação e notação
A semirreta com origem em \(A\) e passando por \(B\) é denotada por \(\overrightarrow{AB}\). O ponto \(A\) é a origem; \(B\) apenas indica a direção.
(todos os pontos a partir de A no sentido de B)
🧭 Tipos de semirretas
Dada uma reta \(r\) e um ponto \(O\) sobre ela, existem duas semirretas opostas: uma em cada direção.
⚡ Propriedades da semirreta
| Origem única | Toda semirreta tem um ponto inicial bem definido. |
| Direção | É determinada pela origem e por outro ponto que indica o sentido. |
| Semirretas opostas | \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{AC}\) com \(A\) entre \(B\) e \(C\) na mesma reta. |
🔦 Exemplos no mundo real
- Raio de luz emitido por uma lanterna (origem na lanterna, segue infinito).
- Linha do horizonte a partir de um observador.
- Flecha lançada (trajetória retilínea infinita idealizada).
🔍 Comparação: Segmento × Semirreta × Reta
📏 Segmento
- Finito
- Duas extremidades
- Pode ser medido
- Representação: \(\overline{AB}\)
🔛 Semirreta
- Infinita em 1 sentido
- Uma origem
- Não tem comprimento total
- Representação: \(\overrightarrow{AB}\)
Reta completa: \(\overleftrightarrow{AB}\) (infinita nos dois sentidos)
🎯 Ponto Médio de um Segmento
O ponto médio \(M\) de um segmento \(\overline{AB}\) é o ponto que divide o segmento em dois segmentos de mesmo comprimento: \(\overline{AM} \cong \overline{MB}\).
🔗 Colinearidade e pertinência
Dizemos que três pontos \(A, B, C\) são colineares se pertencem à mesma reta. Um ponto \(C\) está entre \(A\) e \(B\) se:
✏️ Para pensar
Dados \(A = (1,2)\) e \(B = (5,5)\):
a) Qual o comprimento \(AB\)?
b) Determine o ponto médio \(M\).
c) Escreva a equação da reta \(\overleftrightarrow{AB}\).
(Respostas: \(AB = 5\), \(M = (3, 3.5)\), reta: \(y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}\))
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