Semelhança de Triângulos
🔺 Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando possuem a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Isso significa que seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. A razão de semelhança (k) é a constante de proporcionalidade entre os lados.
📋 Casos de Semelhança
3 ângulos iguais
Se dois triângulos têm ângulos correspondentes iguais, eles são semelhantes.
2 lados proporcionais e ângulo igual
Se dois lados são proporcionais e o ângulo entre eles é igual.
3 lados proporcionais
Se os três lados correspondentes são proporcionais.
📐 Razão de Semelhança (k)
Se dois triângulos são semelhantes, existe uma constante k tal que:
onde k é a razão de semelhança (k > 0).
Se k > 1
O segundo triângulo é maior que o primeiro.
Se k < 1
O segundo triângulo é menor que o primeiro.
Se k = 1
Os triângulos são congruentes (mesmo tamanho).
🔍 Propriedades
| Lados correspondentes | São proporcionais (razão k) |
| Ângulos correspondentes | São iguais |
| Perímetros | A razão entre os perímetros é k |
| Áreas | A razão entre as áreas é k² |
| Alturas correspondentes | Também estão na razão k |
| Medianas, bissetrizes | Também estão na razão k |
📝 Exemplo Prático
Os triângulos são semelhantes (LLL)
Razão k = 2 (lados duplicados)
Área do segundo = 4 × área do primeiro
Relações importantes:
Se k = 2:
- Lados: 2× maiores
- Perímetro: 2× maior
- Altura: 2× maior
- Área: 4× maior
📏 Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina segmentos proporcionais sobre duas transversais.
Este teorema é fundamental para provar semelhança entre triângulos.
💡 Aplicações da Semelhança
Cálculo de alturas
Usando sombras para calcular altura de prédios, árvores e montanhas.
Mapas e escalas
Representação de grandes áreas em papel usando escala.
Projetos arquitetônicos
Maquetes e plantas em escala.
Astronomia
Cálculo de distâncias por triangulação.
Fotografia
Ampliação e redução de imagens.
Engenharia
Cálculo de estruturas e treliças.
✏️ Exercícios Resolvidos
Exercício 1:
Dois triângulos são semelhantes com razão k = 3. Se o menor tem área 12 cm², qual a área do maior?
Solução: A razão das áreas é k² = 9. Portanto, área = 12 × 9 = 108 cm².
Exercício 2:
Um prédio projeta uma sombra de 20 m. No mesmo instante, uma haste de 1 m projeta sombra de 0,5 m. Qual a altura do prédio?
Solução: Por semelhança: \(\frac{h}{20} = \frac{1}{0,5}\) → h = 20 × 2 = 40 m.
Exercício 3:
Na figura, DE // BC. Calcule x.
Solução: \(\frac{4}{6} = \frac{x}{9}\) → x = 6.
📊 Resumo
| Casos de semelhança | AAA, LAL, LLL |
| Razão de semelhança (k) | k = lado₁ / lado₂ |
| Razão dos perímetros | k |
| Razão das áreas | k² |
| Razão de alturas/medianas | k |
Comentários
Postar um comentário