📐 O que são Ângulos?

Um ângulo é a figura formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto chamado vértice. É a medida da abertura entre essas duas semirretas.

🔍 Elementos de um Ângulo

B / / / /) / ) / ) / ) / ) A •---------)--------> C (vértice) Vértice: A Lados: semirretas AB e AC Abertura: região entre AB e AC

🔴

Vértice

Ponto de origem comum (O)

📏

Lados

Semirretas OA e OB

🌐

Abertura

Região entre os lados

Notação de um ângulo:

\[ \angle AOB \quad \text{ou} \quad \hat{A} \quad \text{ou} \quad \alpha, \beta, \gamma... \]

onde O é o vértice, A e B são pontos nos lados.

📏 Unidades de Medida

Grau (°)	Ângulo que corresponde a \(\frac{1}{360}\) de uma volta completa.
Radiano (rad)	Ângulo que corresponde a um arco de comprimento igual ao raio. \( \pi \,\text{rad} = 180°\)
Grado (grad)	Ângulo que corresponde a \(\frac{1}{400}\) de uma volta completa.

Conversão entre graus e radianos:

\[ \pi \,\text{rad} = 180° \quad \Rightarrow \quad 1° = \frac{\pi}{180}\,\text{rad} \quad,\quad 1\,\text{rad} = \frac{180°}{\pi} \]

📊 Classificação dos Ângulos

📐

Agudo

0° < θ < 90°

\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) rad

Menor que 90°

◽

Reto

θ = 90°

\(\theta = \frac{\pi}{2}\) rad

Exatamente 90°

📐

Obtuso

90° < θ < 180°

\(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\) rad

Maior que 90°

➖

Raso

θ = 180°

\(\theta = \pi\) rad

Meia volta

⭕

Completo

θ = 360°

\(\theta = 2\pi\) rad

Volta inteira

🌀

Reflexo

180° < θ < 360°

\(\pi < \theta < 2\pi\) rad

Maior que 180°

⭐ Ângulos Notáveis

Na trigonometria, alguns ângulos aparecem com frequência:

Graus	30°	45°	60°	90°
Radianos	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)

🔄 Relações entre Ângulos

Ângulos Complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°.

\[ \alpha + \beta = 90° \]

Ângulos Suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.

\[ \alpha + \beta = 180° \]

Ângulos Replementares

Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°.

\[ \alpha + \beta = 360° \]

Ângulos Opostos pelo Vértice (O.P.V.)

Quando duas retas se cruzam, os ângulos opostos são iguais.

\ / \ / \ / X / \ / \ / \

\[ \alpha = \gamma \quad,\quad \beta = \delta \]

📐 Como medir ângulos

Transferidor

90° | 180° ------------ 0° | 270°

O instrumento mais comum para medir ângulos é o transferidor, que possui marcações de 0° a 180° ou 0° a 360°.

🌟 Ângulos no dia a dia

🕒

Relógio

Ponteiros formam ângulos

🏠

Telhado

Inclinação do telhado

⚽

Esportes

Ângulo de chute

✏️ Para praticar

1. Um ângulo de 35° e outro de 55° são complementares? Sim, pois 35°+55°=90°
2. Converta 120° para radianos. \(\frac{2\pi}{3}\) rad
3. Qual é o suplemento de 70°? 110°
4. Classifique um ângulo de 200°. Reflexo

∠ ∡ ∢ ⟂ ⦜

Os ângulos estão em toda parte!

"A geometria é a arte de medir o espaço, e os ângulos são suas dobradiças."